A prímmuzsika prímása (2.)

Vegyünk alapul egy érdekes tényt! E sorok írója megjegyzi, hogy a zeneelmélet is prímszámokon alapszik. Az általunk használt hétfokú és tizenkét fokú skála a prímek közül az 5-ös körül forog. A tiszta kvint hangköz az alapja mindennek.

Már tudjuk, hogy Sautoy trombitán játszik. Arra a kérdésre, hogy miért riadnak vissza a tanulók a matematikától, zenei példát említ. „Ha csak a képletekre koncentrálunk, az kicsit olyan, mintha valakit úgy tanítanánk játszani egy hangszeren, hogy kizárólag a skálázást gyakoroltatjuk vele. Így nyilván megunja, és túl technikásnak meg nehéznek fogja érezni az egészet. Sokkal jobb, ha meghallgattatunk vele valamilyen zenét, amelyre felkapja a fejét, hogy jé, hát ez gyönyörű, ezt én is el szeretném játszani! A matematikában és úgy általában a tudományban többet kellene tennünk azért, hogy inspiráljuk az embe-reket. Felesleges tagadni, hogy a matematika bonyolult, de valójában ez is hozzátartozik a vonzerejéhez, hiszen ami túl könnyű, azt hamar megunjuk. Ha valami nehéz, viszont izgalmas, mert látjuk, hogy milyen hasznos, akkor szívesebben foglalkozunk vele. Szerintem az iskolában néha elfelejtjük inspirálni a tanulókat, megmutatva nekik, hogy miért érdemes erőfeszítéseket tenniük.” A zenei példával a matematikus arra is felhívja a figyelmünket, hogyan ne tanítsunk zenét. A lényeg, hogy a tanulónak legyen ideje megtapasztalni a szépet. Viszont érdemes kiegészítenünk annyival e hozzáállást, hogy a tanulónak is akarnia kell a szép megtapasztalását. Az iskolák kapuira érdemes lenne felírnunk – az Isteni színjáték szállóigéjét átfogalmazva –, hogy aki ide belépsz, hagyj fel minden előítélettel. Ne úgy lépj be az iskola kapuján, hogy a matematika az emberi kínzás legalkalmasabb eszköze, vagy zenéből mindenki értelemszerűen jeles tanuló, még akkor is, ha az illető csak gátolja a művészetek megismerését! Úgy lépj be az iskolába, mint Umberto Eco olvasója a fikció erdejébe: a küszöb vagy erdőszél átlépésének pillanatától már nem érvényesek a kinti szabályok; az erdőben az erdő, az iskolában az intézmény által teremtett összefüggésekhez kell igazodni, másképp nem leszünk „mintaolvasók”, de nem is tapasztalhatjuk meg azokat a rejtelmeket, amelyekkel amúgy könnyedén találkozhatnánk.

Sautoy figyelmeztet arra, hogy bár gyakran irtózunk a matematikától – még a zenészek is hangoztatják ezt –, mégis a mindennapi élet tele van matematikai problémákkal, és ezeket könnyedén képesek vagyunk megoldani. „Rengeteg zenész hajtogatja, hogy viszolyog a matematikától, pedig mit csinál? Folyamatosan mintázatokat és szimmetriákat keres, ami tiszta matematika. Szerintem az emberek többségének egyszerűen fogalma sincs, hogy miről szól a matematika, és hogy mennyi mindenben játszik szerepet. Részben éppen az volt a célom ezekkel a könyvekkel, hogy megmutassam nekik: a matematika ott van mindenhol, ők maguk is használják mindennap.”

Ha feltennénk a kérdést, hogy mi lehet a szenvedélye egy matematikusnak, sokan gondolkodás nélkül rávágnák, hogy nem halmozni az élvezeteket, hanem élvezni a halmazokat. Így is fogalmazhatunk, de Sautoy kijelenti, hogy szeret futballozni, és rengeteg meccset néz. Talán meglepő, de matematikai stratégiát lát még a labdarúgásban is. „Hová helyezzük el a középpályásainkat, hogy olyan háromszögek jöjjenek létre a pályán, amelyek mentén keresztbe lehet mozgatni a labdát egészen a gólhelyzetig? De a futballnak vannak más érdekes matematikai vonatkozásai is. A labda a Galilei által leírt pályán, egy parabolaív mentén halad. A pörgése és a mögötte keletkező turbulencia fantasztikusan érdekes, és a mai napig nem értjük: a nagy megoldatlan problémáink közé tartozik.”

A prímszámok zenéje című könyv első fejezetében Sautoy egy kis történettel illusztrálja, mennyire foglalkoztatja a matematikusokat a prímek világa. Mint egy igazi regényben, úgy kezdődik a történet. 1900-ban egy forró, párás reggelen hatalmas tömeg gyűlt össze Párizsban a Sorbonne egyetemen. David Hilbert professzor meglepő módon nem arról kezdett értekezni, hogy mit fejtettek meg a matematikában, hanem azt vázolta, melyek a legfontosabb bebizonyítatlan kérdések. A XX. század elején érthetően útmutatás akart lenni ez a felsorolás. Előadás közben valaki megkérdezte a professzort, hogy ha ötszáz év múlva feltámadna, mi lenne az első kérdése? Hilbert gondolkodás nélkül válaszolt: „Megkérdezném, hogy bebizonyította-e már valaki a Riemann-hipotézist”. Bernhard Riemann német matematikus 1859-ben tette közzé jóslatát, mely szerint mégis van valamilyen rendszer a kaotikusnak tűnő prímszámeloszlásban. A kérdés, hogy helyes vagy téves-e Riemann sejtése, rendkívüli módon foglalkoztatja a számtudósokat. A matematika krimijében úgy is fogalmazhatnánk, hogy egymillió dolláros „vérdíjat” tűztek ki a feltételezés fejére.

Ha ennyire rejtélyesek a prímszámok, Sautoy felsorol néhány könnyen emészthető érdekességet. Ahogy a fizikai világ atomokból épül fel, a számok világában a prímek ezek az atomok. A prímszámok összeszorzásával minden más egész szám felépíthető. Az érdekesség fordítva is felírható: minden 1-nél nagyobb pozitív egész számnak van prímosztója. Például a 4 két prím szorzata (2x2), ugyanígy 2x3=6, 2x2x2=8, 3x3=9, vagy 2x2x3=12 stb.

Ha a természetes számok sorában megjelöljük, melyek prímek, a prímszámok felbukkanása annyira véletlenszerűnek tűnik, hogy lehetetlen meghatározni, hol találunk rá a következő prímszámra. Ez a véletlenszerűség nagy szálka a matematikusok szemében, mert ők mindenben a rendet, a megmagyarázhatót keresik, a prímszámok pedig mintha gúnyt űznének e törekvésekből, ellenállnak mindenféle próbálkozásnak.

A prímszámok rejtélye még az irodalmárok képzeletét is megragadta. Oliver Sacks írt egy tudományos-fantasztikus regényt (A férfi, aki kalapnak nézte a feleségét), melyben két különleges ikerpárral ismerkedhetünk meg. A fiúk viselkedésében az volt a meglepő, hogy néha a szoba egyik sarkában valamit cseréltek egymás között. Az olvasó legnagyobb döbbenetére kiderül, hogy ezek a gyerekek hat számjegyből álló prímekre vadásznak, s amikor megtalálnak egyet, azt elmondják egymásnak. Valami misztikus titok lengi körül ezeket a számokat.

Különös jelenség a prímek világában az úgynevezett ikerprímek felbukkanása. Mik ezek a matematikai ikrek? Olyan prímszámok, amelyek 2-vel nagyobbak egy másik prímszámnál. Például 71-73, 101-103, 2027-2029 stb.

A prímszámvadászat egyik alkalmas fegyvere Eratoszthenész rostája. Igaz, hogy időigényes, de mindig „fogással” kecsegtet. Ez az ötlet hihetetlenül egyszerű. Ha meg akarjuk keresni tízezerig a prímszámokat, akkor veszünk egy – jó nagy – papírlapot, felírjuk rá tízezerig a számokat, és máris kezdődhet a válogatás. Első lépésben kihúzzuk az egyes számot, majd a kettes kivételével az összes páros számot, ezután kihúzzuk azokat, amelyek oszthatók hárommal, majd az öttel, héttel oszthatókat húzzuk ki. Ha így végzünk irtást a számok tömegében, végül csak a prímek maradnak a hálóban. Elképzelhetjük, mekkora munka lehet ezzel az eljárással százjegyű prímek után kutatni. Nem véletlen tehát, hogy az internetes titkosításban százjegyű prímszámokat használnak. Természetesen bárki érvelhet azzal, hogy ha csak prímek vesznek részt a titkosításban, akkor könnyebb a kódfejtők dolga, mert tudják, hogy mely számokkal próbálkozhatnak. De ne feledjük, hogy a prímek csak építőkövek! Az már elég bonyolult lenne egy kódfejtőnek is, ha három vagy több száz jegyű prím szorzatának az eredménye a kulcs.

És ha már zenével hozzuk összefüggésbe a matematikát, Riemann hanghullámokhoz hasonló görbékkel próbált rendet keresni a prímek világában. Ezekkel a hullámgörbékkel a prímszámbecslés hibáit lehet mérsékelni. E hullámok segítségével Riemann egy belső harmóniát figyelt meg a prímek világában. Egy hangszer sajátos hangja a valóságban nem egyetlen hanghullám eredménye, hanem több különböző hanghullám (felhangok) együttes megszólalásának következménye. Ehhez hasonló a prímek hangja is, csakhogy a prímszámok végtelensége sok-sok rezgést halmoz egymásra. Ennek ellenére a prímek hangja egyáltalán nem fehér zaj (fehér zajnak nevezzük az összes hangrezgés egyszerre történő megszólalását – hasonlóan a fehér fényhez, mely az összes színt tartalmazza). „A természet egy matematikai nagyzenekar muzsikáját rejtette el a prímekben” – fogalmaz Sautoy.

És hogy egy kis sajnálatot is érezzünk, Sautoy zseniálisan belesző egy életrajzi adatot is értekezletébe. Riemann házvezetőnője mindig rosszallóan tekintett a sok papírra, amely a tudóst körülvette, de tilos volt neki bármihez is hozzányúlnia. Igen ám, de amikor Riemann tüdővészben elhalálozott, a buzgó hölgy egykettőre rendet teremtett a káoszban. Ennek a rendteremtésnek az lett az eredménye, hogy több feljegyzés hétköznapi, nemes cél szolgálatába lépett, vagyis tűzgyújtóként fejezte be létét. Ami mégis megmenekült a tűzhaláltól, azokból kiderült, hogy Riemann sokkal több dolgot bebizonyított, mint amennyit közzétett. Egy papírlapon még ott volt a feljegyzés, hogy bebizonyított valamit a prímekkel kapcsolatban, de a bizonyítás még nem érett meg a publikációra. Sajnos, a bizonyítást tartalmazó lapok valószínűleg a házvezető hölgy tevékenységének estek áldozatául.

Szilágyi Mihály